Conditional VaR Beta
factor.formula
Konzeptionelles Modell des bedingten VaR-Beta:
Bedingte VaR-Beta-Schätzformel basierend auf der Extremwerttheorie:
Hilfsparameter $alpha_{n,k}$ der Stichprobenquantilschätzung (die Formel hier ist falsch, wurde korrigiert und hat nichts mit tau_j zu tun):
Schätzung der Wahrscheinlichkeit des bedingten Auftretens eines Excess-Ereignisses $tau_j(k/n)$:
Die Bedeutung der einzelnen Parameter in der Formel ist wie folgt:
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Die Überschussrendite von Vermögenswert j zum Zeitpunkt t entspricht der Vermögensrendite abzüglich des risikofreien Zinssatzes.
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Die Überschussrendite des Marktportfolios (z.B. eines Benchmark-Index) zum Zeitpunkt t entspricht der Marktrendite abzüglich des risikofreien Zinssatzes.
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Der Residuumsterm der Rendite des Vermögenswerts j repräsentiert den Teil, den das Modell nicht erklären kann und beinhaltet nicht-systematisches Risiko.
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Das bedingte VaR-Beta des Vermögenswerts j misst die Sensitivität der Rendite des Vermögenswerts j gegenüber der Marktrendite, wenn der Markt einen extremen Rückgang erlebt.
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Das Signifikanzniveau beträgt üblicherweise 5% (d.h. 0,05), was bedeutet, dass unter Berücksichtigung historischer Daten die Wahrscheinlichkeit, dass die Marktrendite niedriger ist als ihr VaR-Wert, $bar{p}$ beträgt, d.h. $P(R_m^t < -VaR_m(bar{p})) = bar{p}$. Wenn beispielsweise $bar{p}$ 0,05 ist, bedeutet dies, dass wir uns mit der Performance der Marktrendite im Extremfall des schlimmsten 5%-Rückgangs in den historischen Daten befassen.
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Der Value at Risk (VaR) des Vermögenswerts j bei einem Konfidenzniveau von $(1-k/n)$ repräsentiert den k-ten Verlustwert des Vermögenswerts j, nachdem die Verluste (negative Renditewerte) in den historischen Daten von klein nach groß sortiert wurden. Er kann auch als der k+1-größte Verlust des Vermögenswerts j in den historischen Daten verstanden werden. Hier wird davon ausgegangen, dass es in n Handelstagen k Tage mit Verlusten gibt, die den VaR-Wert überschreiten.
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Der Value at Risk (VaR) des Marktportfolios bei einem Konfidenzniveau von $(1-k/n)$ repräsentiert den k-ten Verlustwert des Marktportfolios, nachdem die Verluste (negative Renditewerte) in den historischen Daten von klein nach groß sortiert wurden. Er kann auch als der k+1-größte Verlust des Marktes in den historischen Daten verstanden werden. Hier wird davon ausgegangen, dass es in n Handelstagen k Tage mit Verlusten gibt, die den VaR-Wert überschreiten.
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Die Anzahl der Tage in n Handelstagen, an denen der Renditeverlust eines Vermögenswerts oder Marktportfolios seinen VaR-Wert überschreitet. Normalerweise ist k ≈ p*n, wobei p das Signifikanzniveau ist, z.B. 5%. Wenn beispielsweise n=250 (ein Jahr Handelstage) und das Signifikanzniveau 5% beträgt, ist k ungefähr gleich 12 oder 13.
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Die negative Rendite des Marktportfolios zum Zeitpunkt t ist $X_t^{(m)} = -R_m^t$. Die negativen Renditen (Verluste) des Marktportfolios über n Handelstage werden aufsteigend als $X_1^{(m)} leq X_2^{(m)} leq ... leq X_n^{(m)}$ geordnet.
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Die negative Rendite des Vermögenswerts j zum Zeitpunkt t ist $X_t^{(j)} = -R_j^t$. Die negativen Renditen (Verluste) des Vermögenswerts j über n Handelstage werden aufsteigend als $X_1^{(j)} leq X_2^{(j)} leq ... leq X_n^{(j)}$ geordnet.
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Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass Vermögenswert j und das Marktportfolio gleichzeitig extreme Verluste erleiden, wird geschätzt. Genauer gesagt ist dies die Häufigkeit, mit der die Verluste von Vermögenswert j und dem Marktportfolio gleichzeitig ihre jeweiligen VaR-Werte an n Handelstagen überschreiten, wobei $I{cdot}$ eine Indikatorfunktion ist, die den Wert 1 annimmt, wenn die Bedingungen in den Klammern erfüllt sind, und 0 sonst. Je größer $tau_j(k/n)$ ist, desto wahrscheinlicher ist es, dass Vermögenswert j einen großen Verlust erleidet, wenn der Markt extrem fällt.
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Der Hilfsparameter der Stichprobenquantilschätzung ist die durchschnittliche Verlustgröße der Marktrendite im Fall eines extremen Rückgangs (d.h. der k-Tag mit dem größten Verlustwert), was die Auswirkungen von Extremwerten durch logarithmische Transformation negativer Marktrenditen reduziert. Er stellt insbesondere den Mittelwert der logarithmischen Differenz zwischen den ersten k Werten und dem k-ten Wert dar, nachdem der Logarithmus des negativen Marktrenditewerts sortiert wurde.
factor.explanation
Der bedingte VaR Beta-Indikator erfasst die Sensitivität individueller Aktienrenditen gegenüber Marktrenditen, wenn der Markt extrem negative Renditen erlebt. Im Gegensatz zum traditionellen CAPM-Beta konzentriert sich das bedingte VaR-Beta auf das systematische Risikoexposure bei Auftreten von Marktrisikoereignissen. Ein höheres bedingtes VaR-Beta deutet darauf hin, dass die Renditen einzelner Aktien wahrscheinlich ebenfalls stark fallen, wenn der Markt stark fällt. Die Aktie ist also stärker extremen Marktrisiken ausgesetzt und weist höhere Risiken auf. Umgekehrt bedeutet ein niedrigeres bedingtes VaR-Beta, dass einzelne Aktien widerstandsfähiger gegen Rückgänge sind, wenn der Markt extrem fällt. Im quantitativen Investment wird das bedingte VaR-Beta oft als Risikomanagement- und Asset-Allokationsinstrument verwendet, um das Tail-Risiko eines Portfolios zu messen und zu kontrollieren.