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  es el rendimiento idiosincrásico, denotado como $E_{i,d}$, que se estima mediante el modelo de regresión $R_{i,d} = \alpha_i + \beta_i R_{m,d} + \gamma_i R_{ind,d} + E_{i,d}$. Entre ellos, $R_{i,d}$ es el rendimiento total de la acción i en el día d, $R_{m,d}$ es el rendimiento de la cartera de mercado en el día d, y $R_{ind,d}$ es el rendimiento de la cartera de la industria en el día d. $\alpha_i$ es el término de la intersección, $\beta_i$ es el coeficiente de exposición al riesgo de mercado, y $\gamma_i$ es el coeficiente de exposición al riesgo de la industria. $E_{i,d}$ representa el rendimiento idiosincrásico de las acciones individuales después de excluir los factores de mercado e industria, que es la parte del rendimiento que realmente importa en la construcción del factor.

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  es el umbral de la cola, que se utiliza para distinguir áreas de cola significativas. Por lo general, se puede establecer como un múltiplo de la desviación estándar, como 1.5 o 2, lo que representa la tasa de rendimiento más allá de 1.5 o 2 veces la desviación estándar. Este parámetro determina el rango del área de la cola que nos preocupa. Cuando el valor k aumenta, el área de la cola de interés también disminuirá. En general, se puede establecer razonablemente mediante la desviación estándar de los rendimientos históricos.

• Para los datos de rendimiento utilizados en el cálculo de factores, se recomienda utilizar los datos de rendimiento diario de los últimos tres meses (aproximadamente 60 días de negociación) para garantizar la suficiencia y la puntualidad de los datos. La longitud de la ventana de datos se puede ajustar de acuerdo con el propósito específico de la investigación y el entorno del mercado.

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  es el parámetro de ancho de banda de la estimación de densidad kernel, y su tamaño determina la suavidad de la función kernel, lo que a su vez afecta la precisión de la estimación de densidad. Aquí, se utiliza la regla general de Silverman (Silverman, 1986) para seleccionar automáticamente el ancho de banda. La fórmula específica es $h ≈ 1.06\hat{\sigma}n^{-1/5}$, donde $\hat{\sigma}$ es la desviación estándar de la muestra de rendimiento y n es el número de muestras. Esta regla general es ampliamente utilizada en la práctica y puede equilibrar mejor el sesgo y la varianza de la estimación.

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  La función de estimación de densidad kernel $\bar{f}(x)$ que representa la distribución de rendimientos se estima utilizando datos históricos de rendimientos.

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  Representa la función de estimación de densidad kernel asumiendo una distribución simétrica. En los cálculos reales, podemos utilizar una función kernel gaussiana traducida para que el centro de la distribución simétrica se alinee con la media de los rendimientos reales. Esta distribución simétrica sirve como punto de referencia para la comparación.

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  Representa la media de la distribución de rendimientos. La función $ ext{Sign}(E_φ)$ representa el signo del rendimiento medio, asegurando que las direcciones positiva y negativa del factor sean consistentes con la dirección del rendimiento medio. Esta función de signo hace que el factor tome valores positivos cuando el rendimiento es positivo y valores negativos cuando el rendimiento es negativo, lo cual es conveniente para el análisis posterior.