Bêta VaR Conditionnel
factor.formula
Modèle conceptuel du bêta VaR conditionnel :
Formule d'estimation du bêta VaR conditionnel basée sur la théorie des valeurs extrêmes :
Paramètres auxiliaires $alpha_{n,k}$ de l'estimation du quantile d'échantillon (la formule ici est erronée, a été corrigée et n'a rien à voir avec $tau_j$):
Estimation de la probabilité d'occurrence d'un événement d'excès conditionnel $tau_j(k/n)$ :
La signification de chaque paramètre dans la formule est la suivante :
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Le rendement excédentaire de l'actif j à l'instant t est égal au rendement de l'actif moins le taux de rendement sans risque.
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Le rendement excédentaire du portefeuille de marché (par exemple, un indice de référence) à l'instant t est égal au rendement du portefeuille de marché moins le taux sans risque.
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Le terme résiduel du rendement de l'actif j représente la partie que le modèle ne peut pas expliquer et inclut le risque non systématique.
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Le bêta VaR conditionnel de l'actif j mesure la sensibilité du rendement de l'actif j au rendement du marché lorsque le marché connaît une baisse extrême.
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Le niveau de signification est généralement de 5 % (c'est-à-dire 0,05), ce qui signifie que, compte tenu des données historiques, la probabilité que le rendement du marché soit inférieur à sa valeur VaR est de $bar{p}$, c'est-à-dire $P(R_m^t < -VaR_m(bar{p})) = bar{p}$. Par exemple, si $bar{p}$ est de 0,05, cela signifie que nous sommes préoccupés par la performance du rendement du marché dans le cas extrême de la pire baisse de 5 % des données historiques.
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La valeur à risque (VaR) de l'actif j à un niveau de confiance de $(1-k/n)$ représente la k-ième valeur de perte de l'actif j après que les pertes (valeur négative des rendements) ont été triées de la plus petite à la plus grande dans les données historiques. Elle peut également être comprise comme la k+1e plus grande perte de l'actif j dans les données historiques. Ici, on suppose qu'il y a k jours avec des pertes dépassant la valeur VaR dans n jours de bourse.
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La valeur à risque (VaR) du portefeuille de marché à un niveau de confiance de $(1-k/n)$ représente la k-ième valeur de perte du portefeuille de marché après que les pertes (valeurs négatives des rendements) ont été triées de la plus petite à la plus grande dans les données historiques. Elle peut également être comprise comme la k+1e plus grande perte du marché dans les données historiques. Ici, on suppose qu'il y a k jours avec des pertes dépassant la valeur VaR dans n jours de bourse.
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Le nombre de jours sur n jours de bourse où la perte de rendement d'un actif ou d'un portefeuille de marché dépasse sa valeur VaR. Habituellement, k ≈ p*n, où p est le niveau de signification, tel que 5 %. Par exemple, lorsque n=250 (une année de jours de bourse) et que le niveau de signification est de 5 %, k est approximativement égal à 12 ou 13.
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Le rendement négatif du portefeuille de marché à l'instant t est $X_t^{(m)} = -R_m^t$. Les rendements négatifs (pertes) du portefeuille de marché sur n jours de bourse sont classés par ordre croissant comme $X_1^{(m)} leq X_2^{(m)} leq ... leq X_n^{(m)}$.
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Le rendement négatif de l'actif j à l'instant t est $X_t^{(j)} = -R_j^t$. Les rendements négatifs (pertes) de l'actif j sur n jours de bourse sont classés par ordre croissant comme $X_1^{(j)} leq X_2^{(j)} leq ... leq X_n^{(j)}$.
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La probabilité conditionnelle que l'actif j et le portefeuille de marché subissent des pertes extrêmes en même temps est estimée. Plus précisément, c'est la fréquence à laquelle les pertes de l'actif j et du portefeuille de marché dépassent leurs valeurs VaR respectives en même temps dans n jours de bourse, où $I{cdot}$ est une fonction indicative, qui prend la valeur de 1 lorsque les conditions entre parenthèses sont remplies, et 0 sinon. Plus $tau_j(k/n)$ est grand, plus il est probable que l'actif j subisse une perte importante lorsque le marché chute de manière extrême.
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Le paramètre auxiliaire de l'estimation du quantile de l'échantillon est la taille moyenne de la perte du rendement du marché en cas de baisse extrême (c'est-à-dire les k jours avec la plus grande valeur de perte), ce qui réduit l'impact des valeurs extrêmes par une transformation logarithmique des rendements négatifs du marché. Plus précisément, il représente la moyenne de la différence logarithmique entre les k premières valeurs et la k-ième valeur après avoir trié le logarithme de la valeur de rendement négatif du marché.
factor.explanation
L'indicateur bêta VaR conditionnel capture la sensibilité des rendements d'actions individuelles aux rendements du marché lorsque le marché connaît des rendements négatifs extrêmes. Contrairement au bêta CAPM traditionnel, le bêta VaR conditionnel se concentre sur l'exposition au risque systématique lorsque des événements de risque de queue de marché se produisent. Un bêta VaR conditionnel plus élevé indique que lorsque le marché chute fortement, les rendements des actions individuelles sont susceptibles de chuter également fortement, de sorte que l'action est plus exposée aux risques de marché extrêmes et présente des risques plus élevés. Inversement, un bêta VaR conditionnel plus faible signifie que les actions individuelles sont plus résistantes aux baisses lorsque le marché chute de manière extrême. En investissement quantitatif, le bêta VaR conditionnel est souvent utilisé comme outil de gestion des risques et d'allocation d'actifs pour mesurer et contrôler le risque de queue d'un portefeuille.