テール非対称性測度
factor.formula
テール非対称性測度（S_φ）：
カーネル密度推定関数：
ガウシアンカーネル関数：
ここで：
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は個別リターンであり、$E_{i,d}$として表され、回帰モデル$R_{i,d} = \alpha_i + \beta_i R_{m,d} + \gamma_i R_{ind,d} + E_{i,d}$によって推定されます。ここで、$R_{i,d}$はd日の株式iの総リターン、$R_{m,d}$はd日の市場ポートフォリオのリターン、$R_{ind,d}$はd日の業界ポートフォリオのリターンです。$\alpha_i$は切片項、$\beta_i$は市場リスクエクスポージャー係数、$\gamma_i$は業界リスクエクスポージャー係数です。$E_{i,d}$は、市場と業界の要因を除外した後の個々の株式の個別リターンを表しており、ファクター構築において本当に重要なリターン部分です。
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はテール閾値であり、有意なテール領域を区別するために使用されます。通常、標準偏差の倍数（1.5倍または2倍など）に設定でき、標準偏差の1.5倍または2倍を超えるリターン率を表します。このパラメータは、関心のあるテール領域の範囲を決定します。k値が増加すると、関心のあるテール領域も減少します。一般的に、過去のリターンの標準偏差によって合理的に設定できます。
ファクター計算で使用されるリターンデータについては、データの妥当性とタイムリー性を確保するために、過去3か月（約60営業日）の日次リターンデータを使用することをお勧めします。データウィンドウの長さは、特定のリサーチ目的と市場環境に応じて調整できます。
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はカーネル密度推定の帯域幅パラメータであり、そのサイズはカーネル関数の平滑度を決定し、ひいては密度推定の精度に影響を与えます。ここでは、シルバーマンの経験則（Silverman、1986）を使用して帯域幅を自動的に選択します。具体的な式は$h ≈ 1.06\hat{\sigma}n^{-1/5}$で、$\hat{\sigma}$はリターンサンプルの標準偏差、nはサンプル数です。この経験則は実際には広く使用されており、推定のバイアスと分散のバランスをより良く取ることができます。
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リターン分布を表すカーネル密度推定関数$\bar{f}(x)$は、過去のリターンデータを使用して推定されます。
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対称分布を仮定したカーネル密度推定関数を表します。実際の計算では、対称分布の中心が実際のリターンの平均と一致するように、平行移動されたガウシアンカーネル関数を使用できます。この対称分布は、比較のベンチマークとして機能します。
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リターン分布の平均を表します。$\text{Sign}(E_φ)$関数は、平均リターンの符号を表し、ファクターの正負の方向が平均リターンの方向と一致するようにします。この符号関数により、リターンが正の場合はファクターが正の値を取り、リターンが負の場合は負の値を取るようになり、その後の分析に便利です。
factor.explanation
テール非対称性測度は、従来の歪度を効果的に補完するものであり、リターン分布のテールの非対称な特徴をより正確に捉えることができます。実証研究では、株式の過去のリターンのテールの正の非対称性が高い（すなわち、正のテールが厚く、負のテールが薄い）ほど、将来のリターンが低くなる傾向があることが示されています。この負の関係は、市場における過信と楽観主義を反映しており、投資家が正のテールイベントの確率を過大評価し、現在の株価を押し上げる原因となっています。ただし、この関係は絶対的なものではなく、市場リスク、株式固有のボラティリティ、投資家心理、市場流動性などの要因によってその有効性は緩和されます。たとえば、投資家心理が高い場合、このファクターは将来のリターンと有意な負の相関を示す可能性があります。一方、市場パニックの時期には、この相関関係が弱まったり、逆転したりする可能性があります。したがって、実用的なアプリケーションでは、市場環境と投資家の行動を総合的に考慮する必要があります。