式中:

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  株式の個別リターン $ε_{i,d}$ を表します。これは線形回帰モデル $R_{i,d} = α_i + β_iR_{m,d} + γ_iR_{n,d} + ε_{i,d}$ によって推定されます。ここで、$R_{i,d}$ は d 日における株式 i のリターン、$R_{m,d}$ は市場リターン、$R_{n,d}$ は業界リターンです。$\alpha_i$ は株式 i の切片項、$\beta_i$ は株式 i の市場リスクへのエクスポージャー、$\gamma_i$ は株式 i の業界リスクへのエクスポージャーです。$\epsilon_{i,d}$ は d 日における株式 i の個別リターンを表し、これは市場および業界の影響を差し引いた後のリターンであり、企業の固有のリスクとリターンを反映します。

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  極端なテールイベントを定義するために使用される閾値であり、リターン率が平均からどの程度乖離しているかを表します。正と負の k は、それぞれ正と負の極端なリターンイベントの境界を定義します。通常、k は 1 から 2 の間の値を取ります。たとえば、標準偏差の 1.5 倍を閾値として使用できます。つまり、k = 1.5 です。この値の大きさは、テール確率の計算に影響を与えます。データ分布と特定のアプリケーションシナリオに基づいて適切な閾値を選択することをお勧めします。

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  特徴リターンxの確率密度関数を表します。これは、各値範囲内の特徴リターンの確率分布を記述します。

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  特徴リターンxがk以上である確率、つまり正の極端な事象が発生する確率を表します。

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  特徴リターン率xが-k以下である確率、つまり負の極端な事象が発生する確率を表します。