其中：

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  为特质收益率，记为 $E_{i,d}$，通过回归模型 $R_{i,d} = \alpha_i + \beta_i R_{m,d} + \gamma_i R_{ind,d} + E_{i,d}$ 估计得到。其中，$R_{i,d}$ 为股票 i 在 d 日的总收益率，$R_{m,d}$ 为市场组合在 d 日的收益率，$R_{ind,d}$ 为行业组合在 d 日的收益率。$\alpha_i$ 为截距项，$\beta_i$ 为市场风险暴露系数，$\gamma_i$ 为行业风险暴露系数。$E_{i,d}$ 代表了剔除市场和行业因素后的个股特有收益，也就是因子构建中真正关心的收益部分。

• :

  为尾部阈值，用于区分显著的尾部区域。通常可设置为一个标准差倍数，如1.5或者2，代表1.5或2倍标准差以外的收益率水平。这个参数决定了我们所关注的尾部区域范围，当k值增大时，所关注的尾部区域也会随之减小，一般而言，可以通过历史收益率的标准差进行合理的设定。

• 因子计算所用收益率数据，建议使用过去三个月（约60个交易日）的日度收益数据，以保证数据充分性和时效性。数据窗口的长度可根据具体研究目的和市场环境进行调整。

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  为核密度估计的带宽参数，其大小决定了核函数的平滑程度，进而影响密度估计的精度。这里采用Silverman's rule of thumb (Silverman, 1986) 经验法则来自动选择带宽，具体公式为 $h ≈ 1.06\hat{\sigma}n^{-1/5}$，其中$\hat{\sigma}$ 为收益率样本的标准差，n为样本数量。该经验法则在实践中被广泛使用，可以较好地平衡估计的偏差和方差。

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  代表收益分布的核密度估计函数$\bar{f}(x)$，其使用历史收益率数据进行估计。

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  代表假定对称分布的核密度估计函数。在实际计算中，我们可以使用一个经过平移的高斯核函数，使得对称分布的中心与实际收益的均值对齐。这个对称分布作为比较的基准。

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  表示收益分布的均值。$ ext{Sign}(E_φ)$ 函数表示取收益均值的符号，确保因子的正负方向与收益均值方向一致。这个符号函数使得因子在收益为正时取正值，在收益为负时取负值，便于后续的分析。