수식 설명:

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  비정상 꼬리 비대칭은 수익률 분포 꼬리의 비대칭 정도를 측정하는 데 사용됩니다. 양수 값은 오른쪽 꼬리가 더 무겁다는 것을 나타내고, 음수 값은 왼쪽 꼬리가 더 무겁다는 것을 나타냅니다. 값이 클수록 수익률 분포의 비대칭성이 더 뚜렷합니다.

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  실제 수익률 분포와 대칭 분포 간의 차이로, 수익률 분포가 왼쪽으로 치우쳐 있는지 오른쪽으로 치우쳐 있는지 확인하는 데 사용됩니다. $E_φ = \int_{-\infty}^{-k} (f_1(x) - f_2(x))^2 dx - \int_{k}^{+\infty} (f_1(x) - f_2(x))^2 dx$, $E_φ > 0$이면 왼쪽 꼬리 차이가 오른쪽 꼬리 차이보다 크다는 것을 의미하며 수익률 분포가 왼쪽으로 치우쳐진 특징을 보입니다. 반대로 $E_φ < 0$이면 오른쪽 꼬리 차이가 왼쪽 꼬리 차이보다 크다는 것을 의미하며 수익률 분포가 오른쪽으로 치우쳐진 특징을 보입니다.

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  특이 수익률은 시장 및 산업 위험을 제거한 후 개별 주식의 수익률의 나머지 부분을 의미합니다. 계산 방법은 선형 회귀 모델을 통해 추정됩니다: $R_{i,d} = \alpha_i + \beta_i R_{m,d} + \gamma_i R_{ind,d} + E_{i,d}$, 여기서 $R_{i,d}$는 d일의 개별 주식 i의 수익률, $R_{m,d}$는 d일의 시장 수익률, $R_{ind,d}$는 d일의 산업 수익률, $E_{i,d}$는 특이 수익률입니다.

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  꼬리 임계값은 수익률 분포의 극단 영역을 정의하는 데 사용됩니다. 이 값은 일반적으로 1.5 또는 2와 같은 양수이며, 평균 k 표준 편차 위 또는 아래 영역이 분포의 꼬리로 간주됨을 나타냅니다. 이 값의 선택은 팩터의 민감도에 영향을 미치며 특정 상황에 따라 조정할 수 있습니다. 일반적으로 k 값이 클수록 팩터는 극단적인 꼬리의 비대칭에 더 관심을 갖게 됩니다.

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  실제 수익률의 커널 밀도 추정 함수는 비모수적 방법을 통해 실제 수익률의 확률 밀도 분포를 추정하는 데 사용됩니다.

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  실제 수익률 분포에 대해 대칭인 확률 밀도 함수는 일반적으로 평균이 0이고 실제 수익률 분산의 대칭 분포와 동일한 분산을 갖습니다(예: 정규 분포).

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  커널 밀도 함수를 추정하는 데 사용되는 표본 크기, 즉 팩터를 계산하는 데 사용되는 시간 창의 거래일 수입니다.

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  i번째 관측치의 특이 수익률입니다.

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  커널 밀도 추정의 대역폭 파라미터는 커널 함수의 매끄러움을 제어합니다. 대역폭이 작을수록 추정된 분포가 더 세밀하지만 너무 민감할 수 있습니다. 대역폭이 클수록 추정된 분포가 더 매끄럽지만 세부 사항이 손실될 수 있습니다. 일반적으로 Silverman의 경험적 규칙을 사용하여 추정합니다: $h ≈ 1.06\hat{\sigma}n^{-1/5}$, 여기서 $\hat{\sigma}$는 특이 수익률의 표준 편차입니다.

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  가우시안 커널 함수는 표본점이 목표점에 미치는 영향을 가중하는 데 사용되며, 여기서 z는 정규화된 거리 즉, $z = \frac{r_i - x}{h}$ 입니다. 가우시안 커널 함수는 목표점에 더 가까운 표본점에 더 큰 가중치를 부여합니다.