여기서:

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  는 특이 수익률이며, 회귀 모델 $R_{i,d} = \alpha_i + \beta_i R_{m,d} + \gamma_i R_{ind,d} + E_{i,d}$로 추정되는 $E_{i,d}$로 표시됩니다. 여기서 $R_{i,d}$는 d일 주식 i의 총 수익률, $R_{m,d}$는 d일 시장 포트폴리오 수익률, $R_{ind,d}$는 d일 산업 포트폴리오 수익률입니다. $\alpha_i$는 절편항, $\beta_i$는 시장 위험 노출 계수, $\gamma_i$는 산업 위험 노출 계수입니다. $E_{i,d}$는 시장 및 산업 요인을 제외한 개별 주식의 특이 수익률을 나타내며, 팩터 구성에서 실제로 중요한 수익률 부분입니다.

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  는 꼬리 임계값으로, 유의미한 꼬리 영역을 구분하는 데 사용됩니다. 일반적으로 표준편차의 배수(예: 1.5 또는 2)로 설정할 수 있으며, 이는 표준편차의 1.5배 또는 2배를 초과하는 수익률을 나타냅니다. 이 매개변수는 우리가 관심 있는 꼬리 영역의 범위를 결정합니다. k 값이 증가하면 관심 있는 꼬리 영역도 줄어듭니다. 일반적으로 역사적 수익률의 표준편차를 통해 합리적으로 설정할 수 있습니다.

• 팩터 계산에 사용되는 수익률 데이터의 경우, 데이터의 충분성과 시의성을 보장하기 위해 과거 3개월(약 60거래일)의 일별 수익률 데이터를 사용하는 것이 좋습니다. 데이터 창의 길이는 특정 연구 목적 및 시장 환경에 따라 조정할 수 있습니다.

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  는 커널 밀도 추정의 대역폭 매개변수이며, 그 크기는 커널 함수의 평활도를 결정하고, 결과적으로 밀도 추정의 정확도에 영향을 미칩니다. 여기서는 Silverman의 경험 규칙 (Silverman, 1986)이 대역폭을 자동으로 선택하는 데 사용됩니다. 구체적인 공식은 $h ≈ 1.06\hat{\sigma}n^{-1/5}$이며, 여기서 $\hat{\sigma}$는 수익률 표본의 표준편차이고 n은 표본 수입니다. 이 경험 규칙은 실제로 널리 사용되며 추정치의 편향과 분산을 더 잘 균형 잡을 수 있습니다.

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  는 역사적 수익률 데이터를 사용하여 추정된 수익률 분포를 나타내는 커널 밀도 추정 함수 $\bar{f}(x)$ 입니다.

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  는 대칭 분포를 가정하는 커널 밀도 추정 함수를 나타냅니다. 실제 계산에서는 대칭 분포의 중심이 실제 수익률의 평균과 정렬되도록 변환된 가우시안 커널 함수를 사용할 수 있습니다. 이 대칭 분포는 비교를 위한 기준으로 사용됩니다.

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  는 수익률 분포의 평균을 나타냅니다. $\text{Sign}(E_φ)$ 함수는 평균 수익률의 부호를 나타내며, 팩터의 양수 및 음수 방향이 평균 수익률의 방향과 일치하도록 합니다. 이 부호 함수는 수익률이 양수일 때 팩터가 양수 값을 갖고 수익률이 음수일 때 음수 값을 갖도록 하여 후속 분석에 편리합니다.