数式解説:

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  異常テール非対称性は、リターン分布のテールの非対称性の程度を測るために使用されます。正の値は右テールが重いことを示し、負の値は左テールが重いことを示します。値が大きいほど、リターン分布の非対称性がより顕著になります。

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  実際のリターン分布と対称分布の差は、リターン分布が左に歪んでいるか右に歪んでいるかを判断するために使用されます。$E_φ = \int_{-\infty}^{-k} (f_1(x) - f_2(x))^2 dx - \int_{k}^{+\infty} (f_1(x) - f_2(x))^2 dx$、$E_φ > 0$の場合、左テールの差が右テールの差よりも大きいことを意味し、リターン分布は左に歪んだ特徴を示します。逆に、$E_φ < 0$の場合、右テールの差が左テールの差よりも大きいことを意味し、リターン分布は右に歪んだ特徴を示します。

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  個別リターンとは、市場および業界リスクを取り除いた後の個々の株式のリターンの残りの部分を指します。計算方法は、線形回帰モデルによって推定されます。$R_{i,d} = \alpha_i + \beta_i R_{m,d} + \gamma_i R_{ind,d} + E_{i,d}$。ここで、$R_{i,d}$はd日の個別の株式iのリターン、$R_{m,d}$はd日の市場リターン、$R_{ind,d}$はd日の業界リターン、$E_{i,d}$は個別リターンです。

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  テール閾値は、リターン分布の極端な領域を定義するために使用されます。この値は通常、1.5または2などの正の数であり、平均k標準偏差以上または以下の領域が分布のテールと見なされることを示します。この値の選択は、ファクターの感度に影響を与え、具体的な状況に応じて調整できます。一般に、kの値が大きいほど、ファクターは極端なテールの非対称性により関心を持つようになります。

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  実際のリターンのカーネル密度推定関数は、ノンパラメトリック法によって実際のリターンの確率密度分布を推定するために使用されます。

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  実際のリターン分布に対して対称的な確率密度関数であり、通常、平均が0で、分散が実際のリターン分散の対称分布に等しいもの、たとえば正規分布などです。

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  カーネル密度関数を推定するために使用されるサンプルサイズ、つまりファクターを計算するために使用される時間窓内の取引日数です。

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  i番目の観測値の個別リターンです。

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  カーネル密度推定のバンド幅パラメータは、カーネル関数の平滑性を制御します。バンド幅が小さいほど、推定された分布は細かくなりますが、過敏になる可能性があります。バンド幅が大きいほど、推定された分布は滑らかになりますが、詳細が失われる可能性があります。通常、シルバーマンの経験則を使用して推定されます。$h ≈ 1.06\hat{\sigma}n^{-1/5}$。ここで、$\hat{\sigma}$は個別リターンの標準偏差です。

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  ガウスカーネル関数は、サンプルポイントがターゲットポイントに与える影響を重み付けするために使用されます。ここで、zは正規化された距離、つまり$z = \frac{r_i - x}{h}$です。ガウスカーネル関数は、ターゲットポイントに近いサンプルポイントに大きな重みを与えます。