Formelerklärung:

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  Anormale Schwanzasymmetrie wird verwendet, um den Grad der Asymmetrie im Schwanz der Renditeverteilung zu messen. Ein positiver Wert deutet auf einen schwereren rechten Schwanz hin, und ein negativer Wert deutet auf einen schwereren linken Schwanz hin. Je höher der Wert, desto signifikanter die Asymmetrie der Renditeverteilung.

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  Die Differenz zwischen der tatsächlichen Renditeverteilung und der symmetrischen Verteilung wird verwendet, um zu bestimmen, ob die Renditeverteilung links- oder rechtsschief ist. $E_φ = \int_{-\infty}^{-k} (f_1(x) - f_2(x))^2 dx - \int_{k}^{+\infty} (f_1(x) - f_2(x))^2 dx$, wenn $E_φ > 0$, bedeutet dies, dass die linke Schwanzdifferenz größer ist als die rechte Schwanzdifferenz, und die Renditeverteilung zeigt ein linksschiefes Merkmal; umgekehrt, wenn $E_φ < 0$, bedeutet dies, dass die rechte Schwanzdifferenz größer ist als die linke Schwanzdifferenz, und die Renditeverteilung zeigt ein rechtsschiefes Merkmal

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  Die idiosynkratische Rendite bezieht sich auf den verbleibenden Teil der Rendite einzelner Aktien nach Herausrechnen von Markt- und Branchenrisiken. Die Berechnungsmethode wird durch ein lineares Regressionsmodell geschätzt: $R_{i,d} = \alpha_i + \beta_i R_{m,d} + \gamma_i R_{ind,d} + E_{i,d}$, wobei $R_{i,d}$ die Rendite der einzelnen Aktie i am Tag d ist, $R_{m,d}$ die Marktrendite am Tag d ist, $R_{ind,d}$ die Branchenrendite am Tag d ist und $E_{i,d}$ die idiosynkratische Rendite ist.

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  Der Schwanzschwellenwert wird verwendet, um die extremen Bereiche der Renditeverteilung zu definieren. Dieser Wert ist in der Regel eine positive Zahl, z. B. 1,5 oder 2, was darauf hindeutet, dass der Bereich oberhalb oder unterhalb des Mittelwerts k Standardabweichungen als Schwanz der Verteilung betrachtet wird. Die Wahl dieses Wertes beeinflusst die Sensitivität des Faktors und kann an die jeweilige Situation angepasst werden. Im Allgemeinen wird ein größerer k-Wert den Faktor stärker auf die Asymmetrie des extremen Schwanzes ausrichten.

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  Die Kernel-Dichteschätzfunktion der tatsächlichen Rendite wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung der tatsächlichen Rendite durch nichtparametrische Methoden zu schätzen.

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  Eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, die symmetrisch zur tatsächlichen Renditeverteilung ist, hat in der Regel einen Mittelwert von 0 und eine Varianz, die der symmetrischen Verteilung der tatsächlichen Renditevarianz entspricht, z. B. eine Normalverteilung.

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  Der Stichprobenumfang, der zur Schätzung der Kernel-Dichtefunktion verwendet wird, d. h. die Anzahl der Handelstage im Zeitfenster, das zur Berechnung der Faktoren verwendet wird.

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  Die idiosynkratische Rendite der i-ten Beobachtung.

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  Der Bandbreitenparameter der Kernel-Dichteschätzung steuert die Glätte der Kernfunktion. Je kleiner die Bandbreite, desto feiner die geschätzte Verteilung, aber sie kann zu empfindlich sein; je größer die Bandbreite, desto glatter die geschätzte Verteilung, aber es können Details verloren gehen. In der Regel wird die Silverman-Faustregel zur Schätzung verwendet: $h ≈ 1.06\hat{\sigma}n^{-1/5}$, wobei $\hat{\sigma}$ die Standardabweichung der idiosynkratischen Rendite ist.

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  Die Gaußsche Kernfunktion wird verwendet, um den Einfluss von Stichprobenpunkten auf den Zielpunkt zu gewichten, wobei z der normalisierte Abstand ist, d. h. $z = \frac{r_i - x}{h}$. Die Gaußsche Kernfunktion gewichtet Stichprobenpunkte, die näher am Zielpunkt liegen, stärker.