توضیح فرمول:

• :

  عدم تقارن غیرعادی دنباله برای اندازه‌گیری درجه عدم تقارن در دنباله توزیع بازده استفاده می شود. مقدار مثبت نشان دهنده سنگین‌تر بودن دنباله راست و مقدار منفی نشان دهنده سنگین‌تر بودن دنباله چپ است. هر چه مقدار آن بیشتر باشد، عدم تقارن توزیع بازده قابل توجه تر است.

• :

  تفاوت بین توزیع بازده واقعی و توزیع متقارن برای تعیین اینکه آیا توزیع بازده چپ‌چوله است یا راست‌چوله استفاده می شود. $E_φ = \int_{-\infty}^{-k} (f_1(x) - f_2(x))^2 dx - \int_{k}^{+\infty} (f_1(x) - f_2(x))^2 dx$، هنگامی که $E_φ > 0$، به این معنی است که تفاوت دنباله چپ بیشتر از تفاوت دنباله راست است و توزیع بازده ویژگی چپ چولگی را نشان می دهد؛ برعکس، هنگامی که $E_φ < 0$، به این معنی است که تفاوت دنباله راست بیشتر از تفاوت دنباله چپ است و توزیع بازده ویژگی راست چولگی را نشان می دهد.

• :

  بازده ویژه به بخش باقی مانده از بازده سهام فردی پس از حذف ریسک های بازار و صنعت اشاره دارد. روش محاسبه از طریق یک مدل رگرسیون خطی تخمین زده می شود: $R_{i,d} = \alpha_i + \beta_i R_{m,d} + \gamma_i R_{ind,d} + E_{i,d}$، که در آن $R_{i,d}$ بازده سهام فردی i در روز d، $R_{m,d}$ بازده بازار در روز d، $R_{ind,d}$ بازده صنعت در روز d و $E_{i,d}$ بازده ویژه است.

• :

  آستانه دنباله برای تعریف نواحی شدید توزیع بازده استفاده می شود. این مقدار معمولاً یک عدد مثبت است، مانند 1.5 یا 2، که نشان می دهد ناحیه بالاتر یا پایین تر از میانگین k انحراف معیار به عنوان دنباله توزیع در نظر گرفته می شود. انتخاب این مقدار بر حساسیت عامل تأثیر می گذارد و می تواند با توجه به شرایط خاص تنظیم شود. به طور کلی، مقدار k بزرگتر باعث می شود که عامل بیشتر به عدم تقارن دنباله شدید توجه کند.

• :

  تابع تخمین چگالی کرنل نرخ بازده واقعی برای تخمین توزیع چگالی احتمال نرخ بازده واقعی از طریق روش های غیر پارامتری استفاده می شود.

• :

  یک تابع چگالی احتمال که نسبت به توزیع نرخ بازده واقعی متقارن است، معمولاً میانگین 0 و واریانسی برابر با توزیع متقارن واریانس نرخ بازده واقعی دارد، مانند یک توزیع نرمال.

• :

  اندازه نمونه مورد استفاده برای تخمین تابع چگالی کرنل، یعنی تعداد روزهای معاملاتی در پنجره زمانی مورد استفاده برای محاسبه عوامل.

• :

  بازده ویژه مشاهده i ام.

• :

  پارامتر پهنای باند تخمین چگالی کرنل، صافی تابع کرنل را کنترل می کند. هر چه پهنای باند کوچکتر باشد، توزیع تخمینی دقیق تر است، اما ممکن است بیش از حد حساس باشد؛ هرچه پهنای باند بزرگتر باشد، توزیع تخمینی صاف تر است، اما ممکن است جزئیات را از دست بدهد. قاعده سرانگشتی سیلورمن معمولاً برای تخمین استفاده می شود: $h ≈ 1.06\hat{\sigma}n^{-1/5}$، که در آن $\hat{\sigma}$ انحراف معیار بازده ویژه است.

• :

  تابع کرنل گاوسی برای وزن دهی به تاثیر نقاط نمونه بر نقطه هدف استفاده می شود، که در آن z فاصله نرمال شده است، یعنی $z = \frac{r_i - x}{h}$. تابع کرنل گاوسی به نقاط نمونه نزدیکتر به نقطه هدف وزن بیشتری می دهد.