คำอธิบายสูตร:

• :

  ความไม่สมมาตรของส่วนหางที่ผิดปกติใช้เพื่อวัดระดับความไม่สมมาตรในส่วนหางของการกระจายผลตอบแทน ค่าบวกแสดงว่าส่วนหางด้านขวาหนักกว่า และค่าลบแสดงว่าส่วนหางด้านซ้ายหนักกว่า ยิ่งค่าสูงเท่าใด ความไม่สมมาตรของการกระจายผลตอบแทนก็จะยิ่งมีนัยสำคัญมากขึ้นเท่านั้น

• :

  ความแตกต่างระหว่างการกระจายผลตอบแทนที่แท้จริงและการกระจายแบบสมมาตรใช้เพื่อพิจารณาว่าการกระจายผลตอบแทนเบ้ไปทางซ้ายหรือเบ้ไปทางขวา $E_φ = \int_{-\infty}^{-k} (f_1(x) - f_2(x))^2 dx - \int_{k}^{+\infty} (f_1(x) - f_2(x))^2 dx$ เมื่อ $E_φ > 0$ หมายความว่าความแตกต่างของส่วนหางด้านซ้ายมากกว่าความแตกต่างของส่วนหางด้านขวา และการกระจายผลตอบแทนแสดงลักษณะเบ้ไปทางซ้าย ในทางกลับกัน เมื่อ $E_φ < 0$ หมายความว่าความแตกต่างของส่วนหางด้านขวามากกว่าความแตกต่างของส่วนหางด้านซ้าย และการกระจายผลตอบแทนแสดงลักษณะเบ้ไปทางขวา

• :

  ผลตอบแทนเฉพาะตัว หมายถึงส่วนที่เหลือของผลตอบแทนของหุ้นแต่ละตัวหลังจากลบความเสี่ยงของตลาดและอุตสาหกรรม วิธีการคำนวณประมาณค่าผ่านแบบจำลองการถดถอยเชิงเส้น: $R_{i,d} = \alpha_i + \beta_i R_{m,d} + \gamma_i R_{ind,d} + E_{i,d}$ โดยที่ $R_{i,d}$ คือผลตอบแทนของหุ้นรายตัว i ในวันที่ d, $R_{m,d}$ คือผลตอบแทนของตลาดในวันที่ d, $R_{ind,d}$ คือผลตอบแทนของอุตสาหกรรมในวันที่ d และ $E_{i,d}$ คือผลตอบแทนเฉพาะตัว

• :

  เกณฑ์ส่วนหางใช้เพื่อกำหนดพื้นที่สุดขีดของการกระจายผลตอบแทน ค่านี้มักจะเป็นค่าบวก เช่น 1.5 หรือ 2 ซึ่งบ่งชี้ว่าพื้นที่ที่สูงกว่าหรือต่ำกว่าค่าเฉลี่ย k ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ถือว่าเป็นส่วนหางของการกระจาย การเลือกค่านี้จะส่งผลต่อความไวของปัจจัยและสามารถปรับเปลี่ยนได้ตามสถานการณ์เฉพาะ โดยทั่วไป ค่า k ที่มากขึ้นจะทำให้ปัจจัยให้ความสำคัญกับความไม่สมมาตรของส่วนหางสุดขีดมากขึ้น

• :

  ฟังก์ชันประมาณความหนาแน่นของเคอร์เนลของอัตราผลตอบแทนที่แท้จริงใช้เพื่อประมาณการกระจายความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของอัตราผลตอบแทนที่แท้จริงผ่านวิธีการที่ไม่ใช้พารามิเตอร์

• :

  ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นที่มีสมมาตรกับการกระจายอัตราผลตอบแทนที่แท้จริง โดยปกติจะมีค่าเฉลี่ยเท่ากับ 0 และค่าความแปรปรวนเท่ากับการกระจายแบบสมมาตรของค่าความแปรปรวนของอัตราผลตอบแทนที่แท้จริง เช่น การกระจายแบบปกติ

• :

  ขนาดตัวอย่างที่ใช้ในการประมาณค่าฟังก์ชันความหนาแน่นของเคอร์เนล นั่นคือ จำนวนวันทำการในกรอบเวลาที่ใช้ในการคำนวณปัจจัย

• :

  ผลตอบแทนเฉพาะตัวของการสังเกตที่ i

• :

  พารามิเตอร์แบนด์วิดท์ของการประมาณความหนาแน่นของเคอร์เนล ควบคุมความเรียบของฟังก์ชันเคอร์เนล ยิ่งแบนด์วิดท์เล็กลง การกระจายที่ประมาณก็จะละเอียดขึ้น แต่ก็อาจจะมีความไวมากเกินไป ยิ่งแบนด์วิดท์ใหญ่ขึ้น การกระจายที่ประมาณก็จะเรียบเนียนขึ้น แต่ก็อาจจะสูญเสียรายละเอียดไป โดยทั่วไปจะใช้กฎหัวแม่มือของ Silverman ในการประมาณค่า: $h ≈ 1.06\hat{\sigma}n^{-1/5}$ โดยที่ $\hat{\sigma}$ คือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลตอบแทนเฉพาะตัว

• :

  ฟังก์ชันเคอร์เนลแบบ Gaussian ใช้เพื่อถ่วงน้ำหนักอิทธิพลของจุดตัวอย่างต่อจุดเป้าหมาย โดยที่ z คือระยะทางที่ปรับให้เป็นมาตรฐาน นั่นคือ $z = \frac{r_i - x}{h}$ ฟังก์ชันเคอร์เนลแบบ Gaussian จะให้น้ำหนักมากขึ้นแก่จุดตัวอย่างที่อยู่ใกล้กับจุดเป้าหมายมากกว่า