公式解释:

• :

  异常尾部不对称度，用于衡量收益分布尾部的不对称程度。正值表示右尾较重，负值表示左尾较重。该值越高，表示收益分布的非对称性越显著。

• :

  实际收益分布与对称分布的差异度量，用于判断收益分布是左偏还是右偏。$E_φ = \int_{-\infty}^{-k} (f_1(x) - f_2(x))^2 dx - \int_{k}^{+\infty} (f_1(x) - f_2(x))^2 dx$，当$E_φ > 0$时，表示左尾差异大于右尾差异，收益分布表现出左偏特征；反之，$E_φ < 0$时，表示右尾差异大于左尾差异，收益分布表现出右偏特征

• :

  特质收益率，表示个股收益中剔除市场和行业风险后的剩余部分。计算方式为通过线性回归模型估计：$R_{i,d} = \alpha_i + \beta_i R_{m,d} + \gamma_i R_{ind,d} + E_{i,d}$，其中 $R_{i,d}$ 为个股i在d日的收益率, $R_{m,d}$ 为市场在d日的收益率， $R_{ind,d}$ 为行业在d日的收益率，$E_{i,d}$ 即为特质收益率。

• :

  尾部阈值，用于定义收益分布的极端区域。该值通常为正数，例如1.5或2，表示高于或低于均值k个标准差的区域被认为是分布的尾部。该值的选择会影响因子的敏感性，可以根据具体情况进行调整。通常情况下，较大的k值会使得因子更关注极端尾部的非对称性。

• :

  实际收益率的核密度估计函数，通过非参数方法估计得到实际收益率的概率密度分布。

• :

  与实际收益率分布对称的概率密度函数，通常取均值为0，方差等于实际收益率方差的对称分布，例如正态分布。

• :

  用于估计核密度函数的样本量，即用于计算因子的时间窗口内的交易日数量。

• :

  第i个观测的特质收益率。

• :

  核密度估计的带宽参数，控制核函数的平滑程度。带宽越小，估计的分布越精细，但可能过于敏感；带宽越大，估计的分布越平滑，但可能丢失细节。通常使用Silverman的经验法则估计：$h ≈ 1.06\hat{\sigma}n^{-1/5}$，其中$\hat{\sigma}$ 为特质收益率的标准差。

• :

  高斯核函数，用于权重计算样本点对目标点的影响，其中z为标准化后的距离，即 $z = \frac{r_i - x}{h}$ 。高斯核函数赋予离目标点更近的样本点更大的权重。